Asignaciones Mat. I

EXPOSICIÓN DE FUNCIONES (Valor 15%)

Grupo	Función	A Investigar
1	Función Lineal	a) Definición. b) Forma de la función. c) Domino. d) Rango.  e) Cortes con los ejes. f) Forma de la Gráfica. g) Cuándo la función es creciente o decreciente. h) Un ejemplo donde se encuetren los elementos c, d, e, f, g. i) Ecuación punto pendiente de una recta. j) Fórmula de la pendiente de una recta. k) Un ejemplo donde se apliquen i, j para hallar la ecuación de una recta. l) Cuando dos rectas son perpendiculares y cuando son paralelas (mostrar graficamente y las relaciones entre sus pendientes).
2	Función Cuadrática	a) Definición. b) Forma de la función. c) Domino. d) Rango.  e) Cortes con los ejes. f) Forma de la Gráfica. g) Vértice.        h) Cuándo una parábola abre hacia arriba y cuándo abre hacia abajo. i) 1 ejemplo donde se determine todos los elementos de la función, con dos cortes con el eje X. j) Dos ejemplos donde sólo se hallen los cortes con el eje X y se indique la gráfica (1 ejemplo cuando no hay corte con X y otro cuando hay un solo corte). Aplicar y explicar en los ejemplos método de factorización por tanteo y ecuación de segundo grado.
3	Función Racional	a) Definición. b) Forma de la función. c) Domino. d) Función resultante. e) Rango.  f) Cortes con los ejes. f) Forma de la Gráfica. g) 1 ejemplo donde se determine todos los elementos de la función (señalar en la gráfica punto(s) abierto(s). h) Otro ejemplo en el que sólo se halle el dominio. Aplicar y explicar en los ejemplos método de factorización por diferencia de cuadrados perfectos.
4	Función Radical	a) Definición. b) Forma de la función. c) Domino. d) Rango.  e) Cortes con los ejes. f) Diferentes formas de la Gráfica. g) 1 ejemplo donde se determine todos los elementos de la función. h) Otro ejemplo donde g(x) sea un polinomio de segundo grado y sólo se determine el dominio por el método de la parrilla. Aplicar y explicar en uno de los ejemplos factorización por factor común.
5	Función Ramificada	a) Definición. b) Forma de la función. c) Domino. d) Rango.  e) Cortes con los ejes. f) Forma de la Gráfica. g) 1 ejemplo donde se determine todos los elementos de la función.        h) Otro ejemplo donde sólo se determine el rango de la función.
6	Función Valor Absoluto	a) Definición. b) Forma de la función. c) Domino. d) Rango.  e) Cortes con los ejes. f) Forma de la Gráfica. g) Un ejemplo donde se determinen todos los elementos de la función.. h) Cuándo la gráfica de la función se ubica en la parte negativa del eje y. i) Propiedades del valor absoluto. j) Un ejemplo con un polinomio cuadrático donde se apliquen las propiedades del valor absoluto para definir la función.

Nota: Todos los grupos deben reunirse con el profesor previo a las exposiciones para puntualizar dichas exposiciones con ejemplos y aclarar dudas.

CLASE N° 1

Unidad 1. Funciones

Conceptos Básicos
- Conjunto: Es una colección de objetos. Los objetos de un conjunto se llaman elementos del conjunto. Se suelen representar con letras mayúsculas. Ejemplo: A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

- Subconjunto: Un conjunto P es un subconjunto del conjunto Q, escribiéndose PQ, si todo elemento del conjunto P es también elemento del conjunto Q. C = {3,4,5,6}
CA

El conjunto N es un subconjunto de Z escribiéndose NZ

- Relación: Una relación entre dos conjuntos A y B, es una ley o propiedad que permite establecer una correspondencia entre los elementos de dichos conjuntos.
Ejemplo: Relación A

                a → 3   {(a,3),(b,4),(c,5)} para esta relación.

                b → 4

                c → 5

Una relación es un conjunto de pares ordenados (x,y) que cumplen una determinada propiedad.
Ejemplo: - A cada persona le corresponde su número de cédula.
- A cada automóvil le corresponde su número de placa.

Con frecuencia, en las aplicaciones prácticas el valor de una variable depende del valor de otra. Por ejemplo, el salario de una persona puede depender del número de horas que trabaje; la producción total de una fábrica puede depender del número de máquinas que se utilicen; la distancia recorrida por un objeto puede depender del tiempo transcurrido desde que salió de un punto específico; el volumen del espacio ocupado por un gas a presión constante depende de su temperatura; la resistencia de un cable eléctrico de longitud fija depende de su diámetro; etc. La relación entre este tipo de cantidades suele expresarse mediante una función.

Definición de función
Una función puede considerarse como una correspondencia de un conjunto “X” de números reales “x” a un conjunto “Y” de números reales “y”, donde el número “y” es único para cada valor específico de “x”.

Una función es un conjunto de pares ordenados de números (x,y) en los que no existen dos pares ordenados diferentes con el mismo primer número.

El conjunto de todos los valores admisibles de “x” se denomina dominio de la función, y el conjunto de todos los valores resultantes de “y” recibe el nombre de rango de la función.

Los símbolos “x” y “y” denotan variables. Debido a que el valor de “y” depende de la elección de “x”, x denota a la variable independiente mientras que “y” representa a la variable dependiente.

Ej. y = x  + 2

Y es la variable dependiente

X es la variable independiente

x	y	y = x + 2	Pares ordenados (x,y)
-2	0	y = (-2) + 2 = 0	(-2,0)
-1	1	y = (-1) + 2 = 1	(-1,1)
0	2	y = (0) + 2 = 2	(0,2)
1	3	y = (1) + 2 = 3	(1,3)
2	4	y = (2) + 2 = 4	(2,4)

Un número no es real cuando:

1. Hay raíz cuadrada o de índice par de un número negativo.
2.  Cuando hay división entre cero.

Si “f” es la función tal que los elementos de su dominio se representan por “x”, y los elementos de su rango se denotan por “y”, entonces el símbolo f(x) (léase “f de x”) denota el valor particular de “y” que corresponde al valor de “x”.

Y = f(x)

x: Es la variable independiente

y: Es la variable dependiente

f: denota la función

Definición de Gráfica de una función

Si “f” es una función, entonces la gráfica de “f” es el conjunto de todos los puntos (X,Y) del plano R² para los cuales (x,y) es un par ordenado de “f”.

Una recta vertical intersecta la gráfica de una función a lo más en un punto.

Valor numérico de una función

Se determina evaluando a la función en el valor independiente.

Ej. f(x) = x + 5 Determine: a) f(-2) y b) f(-4)

f(x) = x³+x²+2 Determine: a) f(-1) y b) f(2)

   
Determine: a) f(2), b) f(4) y c) f(1)

CLASE N° 2

Operaciones con Funciones

Se pueden formar nuevas funciones a partir de funciones dadas mediante adición, sustracción, multiplicación y división de sus valores. De acuerdo con esto, las nuevas funciones se conocen como la suma, diferencia, producto y cociente de las funciones originales.

Dadas las funciones f y g:

1) Su suma, denotada por f + g, es la función definida por:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

2) Su diferencia, denotada por f - g, es la función definida por:

(f - g)(x) = f(x) - g(x)

3) Su producto, denotado por f.g, es la función definida por:

(f.g)(x) = f(x).g(x)

4) Su cociente, denotado por f/g, es la función definida por:

(f/g)(x) = f(x)/g(x) con g(x)≠ 0

En cada caso, el dominio de la función resultante consta de aquellos valores de x comunes a los dominios de f y g, con el requerimiento adicional en el caso 4) de que se excluyan los valores de x para los cuales g(x) = 0.

Otra operación entre funciones es la obtención de la función compuesta de dos funciones dadas.

Definición de Función Compuesta

Dadas las dos funciones f y g, la función compuesta, denotada por f o g, está definida por:

(f o g)(x) = f(g_(x))

Y el dominio de f o g es el conjunto de todos los números x del dominio de g tales que g(x) está en el dominio de f.

Clase Nª 3
Funciones Trigonométricas

Son funciones que se definen a partir de una circunferencia de radio r = 1. Esta circunsferencia se llama circulo trigonométrico.

Periodicidad de las Funciones Trigonométricas

Funciones Trigonométricas de Ángulos Opuestos

Reducción de Ángulos al primer cuadrante

Para realizar este proceso será necesario transformar el ángulo mayor de 90^o en un ángulo agudo (menor de 90^o) que sea equivalente y finalmente colocarle el signo que posee la función en el cuadrante correspondiente.

Es posible calcular los valores funcionales de un ángulo cuyo lado terminal forme un ángulo de 30^o, 45^o o 60^o con el eje X. Ese ángulo agudo positivo, formado entre el lado terminal del ángulo en posición estándar y el eje X, recibe el nombre de ángulo de referencia.

Valores de las razones trigonométricas para los ángulos de 30^o, 45^o, 60^o

-    Para los ángulos de 30^o y 60^o

Hay que partir de la construcción de un triángulo equilátero (tres lados de igual longitud) de lado de 2 unidades.

 -   Para el ángulo de 45^o Aquí se considera un triángulo rectángulo isósceles, con dos lados de longitud 1 unidad.

Clase N°4

Unidad II. Límites

Introducción a los Límites

En el cálculo y sus aplicaciones se analiza la forma en que varían ciertas cantidades y si estas tienden a valores específicos bajo ciertas condiciones. Estas cantidades a menudo involucran los valores de algunas funciones. Para hacer este análisis se utilizan los conceptos de derivada o de integral definida.

La definición de derivada depende de la noción de límite de una función. Comenzaremos con una presentación intuitiva.

Supongamos que se nos pide dibujar la gráfica de la función f dada por:

Para todos los valores distintos de x = 1, es posible utilizar las técnicas usuales de representación de curvas. Sin embargo, en x = 1, no está claro que esperar. Para obtener una idea del comportamiento de la grafica de f cerca de x = 1, se pueden usar dos conjuntos de valores de x, uno que se aproxime a 1 por la izquierda y otro que se aproxime a 1 por la derecha, como lo ilustra la tabla.

Al representar la función, parece que la gráfica de f es una parábola con un hueco en el punto (1,3). A pesar de que x no puede ser igual a 1, podemos acercarnos arbitrariamente a 1 y, como resultado, f(x) se acerca arbitrariamente a 3. En notación de límites, se escribe:

 Esto se lee “el límite de f(x) cuando x tiende a 1 es 3”.

Descripción Informal de límite

Esta discusión conduce a una descripción informal de límite. Si f(x) se acerca a un número L cuando x tiende a a por cualquiera de los dos lados, entonces el límite de f(x), cuando x tiende a a, es L, esto se escribe como:

 

REALIZAR LA SIGUIENTE TAREA EN SU CUADERNO:

1. CALCULE LOS VALORES DE f(x) DE LA TABLA PARA LOS VALORES DE x.

2. TRACE LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN QUE APARECE EN EL SIGUIENTE LÍMITE (GRAFICAR LA FUNCIÓN RACIONAL COMO SE VIO EN LA UNIDAD I).

3. REALIZAR LUEGO EL EJEMPLO INDICADO DESPUÉS DE LA TABLA.

Definición formal de límite

Examinemos nuevamente la descripción informal de límite. Si f(x) se acerca a un número L cuando x tiende a a por cualquiera de los dos lados, decimos que el límite de f(x), cuando x tiende a a, es L, y escribimos:

A primera vista, esta descripción parece muy técnica. No obstantes, la llamamos informal porque aún tenemos que dotar de un significado preciso a las frases: “f(x) se acerca arbitrariamente a L” y “x tiende a a”.

La primera persona en asignar un significado riguroso a estas dos frases fue Agustin-Louis Cauchy. Su definición ϵ-δ de límite es la que se usa hoy de forma estándar.

En la figura, sea ϵ un número positivo (pequeño). Entonces la frase “f(x) se acerca arbitrariamente a L” significa que f(x) pertenece al intervalo (L – ϵ, L + ϵ). Usando la noción del valor absoluto, esto se puede escribir como:

Análogamente, la frase “x tiende a a” significa que existe un número positivo δ tal que x pertenece bien al intervalo (a – δ, a), o bien al intervalo (a, a + δ). Este hecho puede expresarse de manera concisa mediante la doble desigualdad:

Definición: Sean f una función definida en un intervalo abierto que contiene a a (salvo, posiblemente, en a) y L un número real. La afirmación:

ϵ = épsilon

δ = Delta

Teoremas de Límites

Teorema 1. Límite de una función lineal

Teorema 2. Límite de una función constante

Teorema 3. Límite de una función identidad

Teorema 4. Límite de la suma y de la diferencia de dos funciones

Teorema 5. Límite de la suma y de la diferencia de n funciones

 Teorema 6. Límite del producto de dos funciones

Teorema 7. Límite del producto de n funciones

Teorema 8. Límite de la potencia de una función

Teorema 9. Límite del producto de dos funciones

Teorema 10. Límite de la raíz n-ésima de una función

Límites Indeterminados

Son aquellos de la forma 

Una vez evaluado el valor de “a” en la función. Se resuelven de tres formas:
1. Factorizando y simplificando.
2. Racionalizando y simplificando.
3. Ambos (factorizando, racionalizando y simplificando).

Límites Laterales

1. Definición de límite por la derecha.

Sea f una función definida en cada número del intervalo abierto (a,c). Entonces el límite de f(x), conforme x se aproxima a “a” por la derecha es L, lo que se denota por:

2. Definición de límite por la izquierda.

Sea f una función definida en cada número del intervalo abierto (d,a). Entonces el límite de f(x), conforme x se aproxima a “a” por la izquierda es L, lo que se denota por:

Teorema:

Clase N°4

Límites Infinitos

    1.       Definición de valores de función que crecen sin límite

Sea f una función definida en cada número de algún intervalo I que contiene a “a”, excepto posiblemente en “a” mismo. Conforme “x” se aproxima a “a”, f(x) crece sin límite, lo cual se escribe como:

    2.       Definición de valores de función que decrecen sin límite

Sea f una función definida en cada número de algún intervalo I que contiene a “a”, excepto posiblemente en “a” mismo. Conforme “x” se aproxima a “a”, f(x) decrece sin límite, lo cual se escribe como:

Teorema 11

Teorema 12

Sí “a” es cualquier número real y si

Teorema:

Teorema:

Teorema:

Límites al infinito

Son limites en los cales la tendencia se dirige a +∞ o -∞. Se resuelven dividiendo todos los términos de la función entre la “x” de mayor exponente de la misma. Finalmente se aplica el teorema 13.

Teorema 13. Si n es cualquier número entero positivo y C es una constante, entonces:

Asíntotas

Asíntota Vertical

La recta x=a es una asíntota vertical de la gráfica de la función f si al menos una de los siguientes enunciados es verdadero:

Asíntota Horizontal

La recta y=L es una asíntota horizontal de la gráfica de la función f si al menos una de las siguientes proposiciones es verdadera:

CLASE N°5 DERIVADAS

Definición de la derivada de una función

La derivada de una función f es aquella función denotada por f ', tal que su valor en un número x del dominio de f está dado por:

Si este límite existe.

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto (x₁,f(x₁)) es precisamente la derivada de f evaluada en x₁.

Teoremas de Derivada

1. Si C es una constante y si f(x) = C, entonces:

2. Si n es un entero positivo y si f(x) = xⁿ, entonces:

3. Si f es una función, C es una constante y la función g está dada por:

4. Si f y g son funciones y si h es la función definida por:

5. La derivada de la suma de un número finito de funciones es igual a la suma de sus derivadas si estas derivadas existen.
6. Si f y g son funciones y h es la función definida por:

7. Si f y g son funciones y h es la función definida por:

8. Si f(x) = x^-n, donde –n es un número negativo y x≠0, entonces:

 

Derivadas de funciones trigonométricas (Para carreras de ingeniería)

 

Derivada de funciones logarítmicas y exponenciales (Para carreras de medicina y bio-análisis)

Teorema: 

Si u es una función diferenciable de x y u(x) > 0, entonces:

 

Teorema: 

Si u es una función diferenciable de x, entonces:

Propiedades:

   

Derivada de funciones compuestas (Regla de la cadena)

Se puede utilizar:

Teorema (Para carreras de ingeniería):

Si u es una función diferenciable en x, entonces:

Teorema:

Si f y g son dos funciones tales que:

Derivada Implícita

Está basada en la regla de la cadena.

Entonces la ecuación y = 3x²+5x+1 define a la función explícitamente.

No todas las funciones pueden ser definidas explícitamente mediante una ecuación.

No se puede resolver la ecuación para y en términos de x.

Si y = f(x)

En este caso la función está definida implícitamente. Esta suposición define a “y” como al menos una función diferenciable de x, la derivada de y con respecto a x puede determinarse mediante la derivación implícita.

De acuerdo con la regla de la cadena utilizaremos:

Derivada de Orden Superior