Mat. II Clases

CLASE N° 1

Introducción a la Unidad

Los antiguos griegos estudiaron extensivamente las secciones cónicas y descubrieron propiedades que permiten definir tales curvas en términos de puntos y rectas. Es notorio el hecho de que, aunque las secciones cónicas fueron estudiadas hace miles de años, están lejos de ser obsoletas. Son un medio importante para las investigaciones actuales en el espacio exterior y para el estudio del comportamiento de las partículas atómicas. De la física sabemos que si una partícula se mueve bajo la influencia de un campo de fuerza proporcional al inverso del cuadrado de la distancia, entonces su trayectoria puede describirse por medio de una cónica. En los campos gravitacionales y electrostáticos se presenta este caso. Las orbitas de los planetas son elípticas. Si la elipse es muy “aplastada” la curva corresponde a la trayectoria de un cometa. Los espejos parabólicos se utilizan a veces para captar energía solar. La hipérbola sirve para describir la trayectoria de una partícula alfa en el campo eléctrico de un núcleo atómico.

Definición

Las Cónicas son curvas planas que se forman cuando se intercepta un cono de dos mantos con un plano.

Variando la posición del plano como se ilustra en la figura, se obtiene una elipse, una parábola o una hipérbola respectivamente.

Con algunas posiciones del plano se obtienen cónicas degradadas (o degeneradas). Por ejemplo, si el plano corta al cono solamente en el vértice, entonces la cónica consta de un solo punto. Si el plano contiene al eje del cono, se obtiene un par de rectas que se intersecan. Finalmente, comenzando con el caso de la parábola en la figura anterior y moviendo el plano paralelamente a la posición inicial puede llegarse a una posición en la cual el cono tiene solamente una recta en común con el plano.

Ecuación General de las Cónicas

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0

Criterios para determinar el tipo de Cónica.

1) B² – 4AC = 0 Parábola

2) B² – 4AC < 0 Elipse

3) B² – 4AC > 0 Hipérbola

PARÁBOLA

Estas curvas tienen muchas aplicaciones importantes. Por ejemplo, se emplean en el diseño de espejos parabólicos, reflectores y faros de automóvil. La trayectoria de un proyectil es una parábola si se considera que el movimiento se lleva a cabo en un plano y se desprecia la resistencia del aire. Los arcos tienen algunas veces apariencia parabólica; y los cables de un puente colgante pueden pender en forma de parábola. Las antenas para la recepción de señales de televisión provenientes de satélites son también de formas parabólicas.

Definición: Es el conjunto de todos los puntos xy del plano tales que las distancias desde este hasta un punto fijo llamado foco y a una recta fija llamada directriz son iguales.

Elementos

1) Vértice: Punto que pertenece a la parábola y que corta al eje de la misma.

2) Eje: Recta horizontal o vertical que contiene al vértice y al foco de la parábola. Define la simetría de la parábola.

3) Foco: Punto que no está en la parábola y que define a la misma.

4) Directriz: Recta perpendicular al eje de la parábola y que se encuentra ubicada a la misma distancia del vértice que el foco pero en sentido opuesto.

5) Lado Recto: Distancia perpendicular al eje de la parábola que pasa por el foco y corta a la parábola en dos puntos.

6) Excentricidad: Es la relación entre las distancias del punto al foco y del punto a la directriz. Vale uno. e = 1

7) p: Distancia entre el foco y el vértice y la directriz y el vértice. El valor de p define hacia donde abre la parábola.
a) Si p > 0 y el eje es horizontal la parábola abre hacia la derecha.
b) Si p > 0 y el eje es vertical la parábola abre hacia arriba.
c) Si p < 0 y el eje es horizontal la parábola abre hacia la izquierda.
d) Si p < 0 y el eje es vertical la parábola abre hacia abajo.
 

Ecuación de la parábola con vértice en el origen y eje horizontal.

Traslación de Ejes

La forma de una gráfica no es afectada por la posición de los ejes coordenados, en cambio su ecuación sí.

Para tratar el caso en que el vértice de la parábola no está en el origen se usa la traslación de ejes, como se ilustra en la siguiente figura. En particular considere que los ejes x y y se trasladan a los nuevos ejes x’ y y’ que tienen origen en (h, k) con respecto a los ejes dados. También considere que los números positivos se encuentran en el mismo lado del  origen de los ejes x’ y y’, como en los ejes x y y.

 

Ecuación de la Parábola con vértice en (h, k) y Eje Vertical.

Ecuación de la Parábola con vértice en (h, k) y Eje Horizontal.

ELIPSE

Definición: Es el conjunto de puntos en el plano x,y tales que la suma de sus distancias desde dos puntos fijos es constante. Cada punto fijo se denomina foco.

Un caso especial de la elipse es la circunferencia.

Si F = F’ se obtiene exactamente una circunferencia con centro F.

Elementos:

1) Vértices: Puntos que están sobre la elipse y que cortan a los ejes de la misma: Los vértices mayores V y V’ y los vértices menores B y B’.

2) Ejes: Rectas verticales u horizontales que se cruzan perpendicularmente y que contiene eje menor los vértices menores B y B’, eje mayor los vértices mayores V y V’ y es perpendicular al eje menor.

3) Eje focal: Contiene a los focos F y F’ y es paralelo al eje mayor, la distancia de estos ejes son: del eje menor = 2b, eje mayor = 2a y eje focal = 2c.

4) Focos: Puntos que no están sobre la elipse y definen a la misma, estos puntos se encuentran sobre el eje focal.

5) Centro: Punto donde se cortan los ejes mayor y menor.

Ecuación de una elipse con centro (0,0) y eje Mayor vertical

Ecuación de una elipse con centro en (h,k) y eje Mayor horizontal

Centro = (h,k)

F = (c+h,k)          F’ = (-c+h,k)

V = (a+h,k)         V’ = (-a+h,k)

B = (h,b+k)         B’ = (h,-b+k)

C² = a² – b²

Ecuación de una elipse con centro en (h,k) y eje Mayor vertical

Centro = (h,k)

F = (h,c+k)          F’ = (h,-c+k)

V = (h,a+k)         V’ = (h,-a+k)

B = (b+h,k)         B’ = (-b+h,k)

HIPÉRBOLA

Definición: Es el conjunto de todos los puntos x,y del plano tales que el valor absoluto de la diferencia de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Ecuación de la Hipérbola con centro en el origen (0,0) y eje transverso horizontal

Elementos:

1) Vértice: La hipérbola contiene 4 vértices dos de ellos se conocen como vértices transversos y pertenecen a la hipérbola (V y V’). los otros dos no pertenecen a la hipérbola y se conocen como vértices imaginarios o conjugados (B y B’).

2) Eje Transverso: Recta horizontal o vertical que es cortada por la hipérbola en los vértices transversos, su longitud es 2a.

3) Eje conjugado: Recta perpendicular al eje transverso donde se encuentran los vértices imaginarios, su longitud es 2b.

4) Ejes focales: Recta paralela al eje transverso donde se ubican los focos, su longitud es 2c.

5) Focos: Puntos que se encuentran sobre el eje focal y definen la hipérbola.

6) Centro: Punto donde se cortan el eje transverso y el eje imaginario.

Ecuación de la Hipérbola con centro en el origen (0,0) y eje transverso vertical

Ecuación de la Hipérbola con centro en (h,k) y eje transverso horizontal

Ecuación de la Hipérbola con centro en (h,k) y eje transverso vertical

Clase Nº 2

TEMA II: LA ANTIDERIVADA

   f(x)                   F(x)

Derivada         Antiderivada

   2x                      x²

   3x²                     x³

    1                       x

Cos (x)               Sen (x)

2x                    x² + C,  C = Constante.

Definición: Sea f una función continua en un intervalo I determinado y sea F una antiderivada de f en dicho intervalo, entonces el conjunto de todas las antiderivadas de f en I se define como la integral indefinida de f y se anota:

Integración de Funciones Compuestas

Definición: Sea g(x) una función diferenciable en x y sea f una función diferenciable en g(x) tal que f sea una función compuesta de g, f(g(x)) entonces si f es una antiderivada de f en el intervalo donde se define g(x) se tiene que:

Este teorema se conoce como regla de la cadena para integrales. El método para resolver este tipo de integrales se conoce como cambio de variable y consiste en crear una función f(u) siendo u = a la función interna g(x).

Aplicaciones de la Integral Indefinida (E. D. O.)

Se aplica para resolver ecuaciones.

La forma más sencilla de una ecuación ordinaria es: 

El método consiste en separar las variables de la ecuación diferencial para posteriormente integrar ambos miembros de la ecuación y de esta forma determinar la ecuación general y(x) en general la ecuación diferencial dada.

Orden de una Ecuación Diferencial Ordinaria

Lo da el mayor exponente que aparezca en la misma.

Para resolver una ecuación diferencial de orden superior se debe integrar en forma sucesiva tantas veces como lo indique el orden de la ecuación. La solución general tendrá tantas constantes como orden la E. D.

Solución Particular de la Ecuación Diferencial

Consiste en determinar el o los valores de las constantes de integración que se encuentren en la solución general de la E.D.; para esto es necesario tener datos o condiciones iniciales que caractericen a una de las curvas que forman parte de la solución general, por ejemplo un punto por donde pasa la curva, la presencia de un extremo relativo en un punto dado; punto de inflexión, etc. El número de condiciones iniciales debe ser mayor o igual que el orden de la ecuación diferencial.

Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables

Clase 4